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你未必出類拔萃,但肯定與眾不同。

weiye 發表於 2011-2-7 19:01

標題: Re: [中學] 有關插值多項式

標題: Re: [中學] 有關插值多項式
文章代碼(AID): #1DJsUlU1 (Math) [ptt.cc]
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作者  weiye (^__^)                                                看板  Math
標題  Re: [中學] 有關插值多項式
時間  Mon Feb  7 11:31:57 2011

※ 引述《wa007123456 (大笨羊)》之銘言:
: 不好意思...又來發文章了..@@
: as title
: 我看了課本許久 還是無法理解他的原理
: 上網google 只查到更複雜的講法
: 我只記得上學期我是用比較特別的方法做的
: 但是 這樣下去不是辦法
: 畢竟那個特別的辦法只適用在3次以下的f(x)
: 因為我晚了別人一年 所以重讀後..還是高一生的程度..
: 希望有高手能夠以比較容易理解的講法揭露出他的原理
: 小弟在此感激不盡!
: ps:抑或是背下公式就好,不必去瞭解他的原理呢?


假設現在要求的是滿足 f(a)=p, f(b)=q, f(c)=r 的二次多項式,

現在不要要求一次滿足三個願望,

把願望縮小,發揮一下遠交近攻的精神,每次聯合某兩個敵人,打擊第三個敵人,

聯合次要敵人,打擊主要敵人~~一次只求滿足一個願望就好!

比如說:

1.  找滿足 f(a)=p ,但是 f(b)=0 且 f(c)=0 的這一塊,

    先滿足這小小的 f(a)=p 的一個願望就好,

    --------要開始找了喔--------

    因為 f(b)=0, f(c)=0 ,所以由因式定理

    可知這一部分一定是有 (x-b)(x-c) 的因式,

    可是如果直接把 a 帶入 (x-b)(x-c),

    會得到的就是 (a-b)(a-c)耶,又不是 p ...... (想想看要怎麼辦)

    對啦,可以吧 (x-b)(x-c) 縮小 (a-b)(a-c) 倍,再放大 p 倍,就ok啦,

    這樣得到的多項式就是

                        \(\displaystyle \frac{p (x-b) (x-c)}{(a-b)(a-c)}\)


    檢查一下上面得多項式~有沒有滿足~ (1). 帶 a 進去得到 p

                                       (2). 帶 b,c 進去都會得到 0

    好像有齁,第一個願望達成!


2.  找滿足 f(b)=q ,但是 f(a)=0 且 f(c)=0 的這一塊,

    先滿足這小小的 f(b)=q 的一個願望就好,

    --------要開始找了喔--------

    因為 f(a)=0, f(c)=0 ,所以由因式定理

    可知這一部分一定是有 (x-a)(x-c) 的因式,

    可是如果直接把 b 帶入 (x-a)(x-c),

    會得到的就是 (b-a)(b-c)耶,又不是 q ...... (想想看要怎麼辦)

    對啦,可以吧 (x-a)(x-c) 縮小 (b-a)(b-c) 倍,再放大 q 倍,就ok啦,

    這樣得到的多項式就是

                       \(\displaystyle \frac{ q (x-a) (x-c)}{(b-a)(b-c)}\)


    檢查一下上面得多項式~有沒有滿足~ (1). 帶 b 進去得到 q

                                       (2). 帶 a,c 進去都會得到 0

    好像有齁,第二個願望達成!

3.  找滿足 f(c)=r ,但是 f(a)=0 且 f(b)=0 的這一塊,

    先滿足這小小的 f(c)=r 的一個願望就好,

    --------要開始找了喔--------

    因為 f(a)=0, f(b)=0 ,所以由因式定理

    可知這一部分一定是有 (x-a)(x-b) 的因式,

    可是如果直接把 c 帶入 (x-a)(x-b),

    會得到的就是 (c-a)(c-b)耶,又不是 r ...... (想想看要怎麼辦)

    對啦,可以吧 (x-a)(x-b) 縮小 (c-a)(c-b) 倍,再放大 r 倍,就ok啦,

    這樣得到的多項式就是

                         \(\displaystyle \frac{r (x-a) (x-b)}{(c-a)(c-b)}\)


    檢查一下上面得多項式~有沒有滿足~ (1). 帶 c 進去得到 r

                                       (2). 帶 a,b 進去都會得到 0

    好像有齁,第三個願望達成!



繼續~~

可以找到這三塊又有什麼用,它們一次都只滿足一部分的願望而已呀!




很有用~直接把它們加起來看看~

加起來之後,得到的結果是

                           \(\displaystyle \frac{p (x-b) (x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{ q (x-a) (x-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{r (x-a) (x-b)}{(c-a)(c-b)}\)



觀察一下上面的多項式,

當把 x=a 帶入時,會回得到 p + 0 + 0 ,也就是得到結果是 p

當把 x=b 帶入時,會回得到 0 + q + 0 ,也就是得到結果是 q

當把 x=c 帶入時,會回得到 0 + 0 + r ,也就是得到結果是 r


~~~耶~~找到了~

找到一個多項式滿足帶 x=a,b,c 分別會得到得函數值是 p,q,r

三個願望~一次滿足!

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