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thankyou 發表於 2010-12-13 11:49

求四根的倒數和

a,b,c,d為實數,設\( x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)的四根均為複數,且在複數平面中位於以原點為圓心的單位圓上,求此四根的倒數和?(A)\( a \) (B)\( b \) (C)\( c \) (D)\( -a \) (E)\( -b \)

weiye 發表於 2010-12-13 13:13

題目:設 \(a,b,c,d\) 為實數,設 \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\) 的四根均為複數,且在複數平面中位於以原點為圓心的單位圓上,求此四根的倒數和?
(A) \(a\) (B) \(b\) (C) \(c\) (D) \(-a\) (E) \(-b\)

解答:

因為實係數方程式的虛根成共軛對出現,

所以可設此四根為 \(z_1,z_2,\overline{z_1}, \overline{z_2}\),

因為此四根在複數平面上到原點的距離都是 \(1\),

所以 \(z_1\cdot\overline{z_1}=\left|z_1\right|^2=1,z_2\cdot\overline{z_2}=\left|z_2\right|^2=1\),

故,\(\displaystyle \frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{\overline{z_1}}+\frac{1}{\overline{z_2}}\)

  \(\displaystyle=\frac{\overline{z_1}}{z_1\cdot \overline{z_1}}+\frac{\overline{z_2}}{z_2\cdot\overline{z_2}}+\frac{z_1}{z_1\cdot\overline{z_1}}+\frac{z_2}{z_2\cdot\overline{z_2}}\)

  \(=\overline{z_1}+\overline{z_2}+z_1+z_2\)

由根與係數關係式(又名 Viete 定理),可得

  所求\(=-a.\)

eggsu1026 發表於 2013-5-29 03:52

雖然答案沒有錯,不過解法不完備

題目提到四根為複數根,並不代表四根皆為虛數根
還有兩種情況要討論:
(1) 四根都是實根
(2) 兩實根,兩虛根

tsusy 發表於 2013-5-29 09:06

回復 3# eggsu1026 的帖子

注意 \( \frac{1}{1} = 1, \frac{1}{-1} = -1 \),若 \( |z| = 1\), 則 \( \frac{1}{z} = \bar{z} \)

令 \( y = \frac1x \),並改寫成四次方程式,則四根不變。而由四根之絕對值皆 1(且實係數) ,知 \( d = \pm 1 \)

若 \( d = 1 \) 則 \( a=c \),四根之和為 \( -c =-a \)

若 \( d=-1 \)  \( a= -c \) 則四根之和為  \( c =-a \)

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