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除非太陽不再升起,
否則不能不達到目標。

johncai 發表於 2010-8-20 00:16

二次曲線問題

[size=3][font=Calibri]5x^2-6xy+5y^2-4x-4y+4=0[/font]可判斷出是一個點[/size]
[size=3]我想問的是[/size]
[size=3]那有沒有辦法將原式寫成[font=Calibri](ax+by+c)^2+(dx+ey+f)^2=0[/font]的形式[font=Calibri]?[/font][/size]
[size=3]如果可以,要怎麼算出[font=Calibri]a[/font]、[font=Calibri]b[/font]、[font=Calibri]c[/font]、[font=Calibri]d[/font]、[font=Calibri]e[/font]、[font=Calibri]f[/font][/size]
[size=3]謝謝[/size]

weiye 發表於 2010-8-20 11:37

先將方程式依 \(x\) 降冪排列: \(\displaystyle 5x^2-2(3y+2)x+(5y^2-4y+4)=0\)

再將 \(x\) 的一元二次式配方,可得:\(\displaystyle 5\left(x-\frac{3y+2}{5}\right)^2 + \left(5y^2-4y+4\right)-\frac{\left(3y+2\right)^2}{5} =0\)

將後方的 \(y\) 的部份展開合併,可得:\(\displaystyle 5\left(x-\frac{3y+2}{5}\right)^2 + \frac{16y^2-32y+16}{5} =0\)

再將後方 \(y\) 的一元二次式配方,可得:\(\displaystyle 5\left(x-\frac{3y+2}{5}\right)^2 +\frac{16\left(y-1\right)^2}{5} =0\)

同乘 \(5\),可得:\(\displaystyle \left(5x-3y-2\right)^2 +16\left(y-1\right)^2 =0\)

因為完全平方數非負,故 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}5x-3y-2=0\\y-1=0\end{array}\right.\)

解聯立方程式可得 \((x,y)=(1,1).\)




至於上述所要找的 \(a,b,c,d,e,f\) 並不唯一,有無限多組解。

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