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任何事情都有好的一面,
現在放棄就看不見了。

johncai 發表於 2010-8-12 13:23

99安樂高中第二次

若f(x)-2f(1/x)=x
求f(x)

謝謝!

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2010-8-12 06:37 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2010-8-12 13:37

將所有的變數 \(x\) 都換成 \(\displaystyle \frac{1}{x}\)( \(x\) 只是個變數,看你要換成蝦咪都可以,別擔心),

則可得方程式 \(\displaystyle f(\frac{1}{x})-2f(x)=\frac{1}{x}\),



所以加上題目給的,我們就有兩個 \(f\) 函數所滿足的關係式了,可以把這兩個關係式抓來解聯立方程式

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle f(x)-2f(\frac{1}{x})=x\\ f(\frac{1}{x})-2f(x)=\frac{1}{x}\end{array}\right.\),



將上列的第二式乘以 \(2\) 之後,再與第一式相加,

故,可得 \(\displaystyle f(x)=\frac{\displaystyle x+\frac{2}{x}}{-3}.\)

bugmens 發表於 2010-8-12 18:36

學校有公佈題目,標題幫你做個更正

addcinabo 發表於 2010-10-4 10:55

想請教各位大大
           填充第六題
                  擲三粒均勻骰子一次,則在至少出現一粒四點條件下,其點數和為偶數之機率為?

           填充第十題
                  有21相同球放入3個不同袋子,每袋至少一球,則滿足  " 任兩袋球數必大於第三袋球數 "  之放法?

kittyyaya 發表於 2010-11-5 02:42

請問多重選擇題第1題的D選項為何正確?我利用畫圖應該大於根號2呀,
填充第10題,我把3個不同袋子想成三角形的三個邊長,直接找出有(6,6,6),(7,6,5),(8,6,4),(7,7,4),(8,5,5),(8,7,3),(8,8,2)分別是1+6+6+3+3+6+3=28,我有漏嗎?有其他算法嗎?謝謝

maxstarter 發表於 2010-11-5 13:37

[quote]原帖由 [i]addcinabo[/i] 於 2010-10-4 10:55 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2683&ptid=1025][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教各位大大
           填充第六題
                  擲三粒均勻骰子一次,則在至少出現一粒四點條件下,其點數和為偶數之機率為?

           填充第十題
                  有21相同球放入3個不同袋子,每袋至少一 ... [/quote]

填充第六題

n(A)=6×6×6-5×5×5=91
n(A∩B)有
和=6 【4,1,1】=3!/2!=3
和=8 【4,1,3】=3!=6【4,2,2】=3!/2!=3
和=10 【4,1,5】=3!=6【4,2,4】=3!/2!=3【4,3,3】=3!/2!=3
和=12 【4,2,6】=3!=6【4,3,5】=3!=6【4,4,4】=3!/3!=1
和=14 【4,4,6】=3!/2!=3【4,5,5】=3!/2!=3
和=16 【4,6,6】=3!/2!=3
共3+6+3+6+3+3+6+6+1+3+3+3=46

P=46/91

weiye 發表於 2010-11-5 13:47

多選第 1 題(D)選項:令 \(|z_1|=a, |z_2|=b\),

            等同於:

            已知 \(a,b\) 為非負實數且 \(a^2+b^2=1\),

            求證 \(a+b\leq \sqrt{2}.\)

            由柯西不等式即可證明之。






填充第 6 題:擲三粒均勻骰子一次,則在至少出現一粒四點條件下,其點數和為偶數之機率為__________。

所求 \(\displaystyle= \frac{\mbox{至少有一粒四點且點數和為偶數的情況}}{\mbox{至少有一粒四點的情況}}\)

   \(\displaystyle= \frac{\mbox{恰有三粒四點+恰有兩粒四點且另一粒為 2 or 6 +恰有一粒四點且另兩粒非四點的點數和為偶數}}{\mbox{至少有一粒四點的情況}}\)

   \(\displaystyle= \frac{C^3_3 + C^3_2\times 2+C^3_1\times\left(2\times2+3\times3\right)}{6^3-5^3}\)

   \(\displaystyle= \frac{46}{91}\)

maxstarter 發表於 2010-11-5 13:57

[quote]原帖由 [i]kittyyaya[/i] 於 2010-11-5 02:42 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2728&ptid=1025][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問多重選擇題第1題的D選項為何正確?我利用畫圖應該大於根號2呀,
填充第10題,我把3個不同袋子想成三角形的三個邊長,直接找出有(6,6,6),(7,6,5),(8,6,4),(7,7,4),(8,5,5),(8,7,3),(8,8,2)分別是1+6+6+3+3+6+3=28,我 ... [/quote]

1.試試看柯西
10.文件內附的答案是55種

weiye 發表於 2010-11-5 14:50

填充題第 10 題:有21 個相同球放入3 個不同袋子,每袋至少一球,則滿足「任二袋球數和必大於第三袋球數」之放法有_________種。


case i. 三袋球數都相同

   (7,7,7) → \(1\) 種

case ii. 恰某兩袋球數相同

   (1,10,10), (3,9,9), (5,8,8), (6,6,9) → \(\displaystyle 4\times\frac{3!}{2!1!} = 12\) 種

case iii. 三袋球數都相異

   (2,9,10), (3,8,10), (4,8,9), (4,7,10),

   (5,7,9), (5,6,10), (6, 7,8) → \(7\times3!=42\) 種

故,共有 \(1+12+42=55\) 種。




ps. 以下補充一下,上面那十二個有序數組是怎樣來的:

  令 a≦b≦c

  由 a+b+c=21 且 a+b>c

  可得 2c≦21≦3c → 7≦c≦10

  當 c=7 時,a+b=14 → (a,b)=(7,7)

  當 c=8 時,a+b=13 → (a,b)=(5,8), (6,7)

  當 c=9 時,a+b=12 → (a,b)=(3,9), (4,8), (5,7), (6,6)

  當 c=10 時,a+b=11 → (a,b)=(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)

艾瑞卡 發表於 2015-3-15 17:16

填充題第 10 題:寸絲師有個很神的作法 H(3,18) ─ 3* H(3,8) = 190 ─ 135 = 55
但我看不懂, 請問這麼解的想法是什麼呢??

thepiano 發表於 2015-3-15 17:29

全部減去"任一袋超過10球"

艾瑞卡 發表於 2015-3-15 19:54

回復 11# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴師的提點,一題多解 對觀念澄清真的很有幫助

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