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八神庵 發表於 2010-7-20 17:05

99左營高中

我沒抄在準考證上
這是我回想的題目與PTTmath板好心人提供的題目
總共10題考90分鐘

bugmens 發表於 2010-7-20 17:53

感謝提供題目

1.\( x,y \ge 0 \)，\( x^2+y^2=25 \)，求\( 5x^2+4xy+y^2 \)之最小值？

設\( x^2+y^2=1 \)，試求\( x^2-2xy+3y^2 \)之最大值和最小值？
[url]https://math.pro/db/thread-882-1-1.html[/url]


6.某一老鼠走迷宮的遊戲中，假設迷宮有A,B,C三個門，老鼠走進這三個門的機率都相等，且假設老鼠不去記憶走過。如果走進A門，則老鼠在3個小時後可以走出迷宮；如果走進B門，則老鼠經過2個小時後又走回原地；如果走進C門，則老鼠經過4個小時後又走回原地。那麼，這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值為幾小時。
(97台灣師大推薦甄試，這裡還有類似的題目)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475[/url]


7.\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
其他類似題目
[url]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url]


9.試證\( 2^n \ge 1+n \sqrt{2^{n-1}} \)

證明：\( \forall n \in N \)，\( 3^n \ge 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)
(98慈大附中,臺南慈中，[url]https://math.pro/db/thread-725-1-5.html[/url])

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-12 08:46 PM 編輯 [/i]]

addcinabo 發表於 2010-7-22 17:46

可以請教各位大大第8題嗎?
c(n,o)*c(n,1)*c(n,2)*...c(n,n) < 2^(n-1)*n / n!
感謝先

Fermat 發表於 2010-7-22 19:32

回復 3# addcinabo 的帖子

先說明一下
第8.題題目有瑕疵(n=1,2不成立)
應限制n >= 3
                                                                                
先證lemma：n>=4時,(n-1)^(n-1)>n!
(歸納法易證)
n=4時,3^3>4!成立
設n=k(k>=4)成立, 即k!<(k-1)^(k-1)
=> (k+1)!=(k+1)*k!<(k+1)(k-1)^(k-1)
         =(k^2-1)(k-1)^(k-2)
         <k^2*k^(k-2)=k^k
得n=k+1時成立
                                                                                
(1)n=3時, 1*3*3*1<2^6/6成立
(2)n>=4時
左=C(n,1)C(n,2)...C(n,n-1)
  <{[C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)]/(n-1)}^(n-1)
  =[(2^n-2)/(n-1)]^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/(n-1)^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/n! (by lemma)

[[i] 本帖最後由 Fermat 於 2010-7-24 09:08 PM 編輯 [/i]]

老王 發表於 2010-7-24 21:34

第八題，可以用跟第九題一樣的技巧
\( \displaystyle C_1^n+2\times C_2^n+3\times C_3^n+\cdots+n\times C_n^n=n\times 2^{n-1} \)

接著使用算幾不等式即可
而且可以知道，當\( n=1 \) 時，僅有一項；當\( n=2 \)時，雖有兩項，但是相等；所以這兩個情況都是相等。
於是在\( n\ge 3 \) 時才會成立。

bugmens 發表於 2010-7-25 07:55

這個解法實在是太漂亮了，推一個

jomouth 發表於 2011-5-12 20:07

想請問一下第3題怎麼証明
\((3+\sqrt{7})^n\)的整數部分恆為奇數

weiye 發表於 2011-5-12 20:20

回復 7# jomouth 的帖子

或許看完這篇 [url=https://math.pro/db/thread-222-1-1.html]https://math.pro/db/thread-222-1-1.html[/url] 你應該就會有證明的想法了，

如果看完之後真的還是沒有想法的話，傳個短訊息給我，我再來寫個詳細證明。 ^__^

jomouth 發表於 2011-5-12 20:44

回復 8# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師，我懂了

nanpolend 發表於 2011-5-19 23:40

回復 2# bugmens 的帖子

第一題詳解

[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-5 03:14 PM 編輯 [/i]]

nanpolend 發表於 2011-5-20 12:47

回復 10# nanpolend 的帖子

第二題詳解寫錯歡迎指正(更新版)

nanpolend 發表於 2011-5-20 21:55

回復 8# weiye 的帖子

可不可以寫第三題的詳解感溫

nanpolend 發表於 2011-5-20 23:45

回復 2# bugmens 的帖子

第6題詳解
寫錯歡迎指正

[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:39 AM 編輯 [/i]]

nanpolend 發表於 2011-5-21 09:06

回復 13# nanpolend 的帖子

第7題詳解
寫錯歡迎指正

[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:41 AM 編輯 [/i]]

nanpolend 發表於 2011-5-21 09:55

回復 14# nanpolend 的帖子

第9題詳解
寫錯歡迎指正

[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:43 AM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2011-5-21 19:50

第 3 題

解答：

令 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n+ C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A+B\sqrt{7}\) ，其中 \(A,B\) 為整數，

則 \(\displaystyle \left(3-\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n- C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ \left(-1\right)^n C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A-B\sqrt{7},\)


\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n+\left(3-\sqrt{7}\right)^n=2A\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n=\left(2A-1\right)+\left[1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n\right]\)

又因為 \(\displaystyle 0<3-\sqrt{7}<1\Rightarrow 0<\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\Rightarrow 0<1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\)

所以 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為 \(2A-1\)，小數部分為 \(\displaystyle 1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n.\)

故，\(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為奇數。

八神庵 發表於 2011-5-23 20:04

[quote]原帖由 [i]nanpolend[/i] 於 2011-5-20 12:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3187&ptid=1016][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題詳解寫錯歡迎指正 [/quote]
第二行就錯了
-pi<x<pi且x不等於0
故sinx屬於[-1,0)U(0,1]

nanpolend 發表於 2011-7-5 00:08

回復 17# 八神庵 的帖子

第二題詳解寫錯
已更正

casanova 發表於 2012-3-13 13:45

回復 1# 八神庵 的帖子

請問第4題和第5題怎麼寫呢？
還有，第9題只能用算數平均數大於幾何平均數嗎？可以用數學歸納法嗎？有試著用數學歸納法證第9題，但是沒證出來。

weiye 發表於 2012-3-13 15:04

回復 19# casanova 的帖子

第 4 題：

因為 \(x\) 為實數，

必存整數 \(m\)，使得 \(2m\leq x<2m+1\) 或 \(2m+1\leq x<2m+2\)

case i: 若 \(2m\leq x<2m+1\)，則 \([x]=2m\)

　　　　且 \(\displaystyle m\leq\frac{x}{2}<m+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x+1}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

case ii: 若 \(2m+1\leq x<2m+2\)，則 \([x]=2m+1\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+1\leq\frac{x+1}{2}<m+1+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m+1\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

由 case i & ii 可得 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x].\)

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