回復 19# casanova 的帖子
第 5 題：設將 \(1,2,3,\cdots, 27\) 任意圍成一圈依序為 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{27}\) 可使相鄰兩整數和為質數，
因為 \(1\) 只出現一次，因此相鄰兩整數和必為奇質數，
設 \(a_1+a_2=p_1,a_2+a_3=p_2,a_3+a_4=p_3,\cdots,a_{27}+a_1=p_{27}\) ‧‧‧‧‧‧（＊）
其中 \(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_{27}\) 皆為奇質數，
將（＊）列的 27 個式子相加，
可得 \(2\left(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{27}\right)=p_1+p_2+\cdots+p_{27}\)
上式左邊為偶數，上式右邊為奇數個奇質數的和為奇數，矛盾，
故，不可能將 \(1,2,3,\cdots,27\) 排成一圈圈使得相鄰兩整數和皆為質數。
回復 21# weiye 的帖子
謝謝weiye老師！想再請問有沒有人可以利用數學歸納法做出第9題呢？
試著用數學歸納法但就是無法做出來。
回復 22# casanova 的帖子
第 9 題：一、當 \(n=1,2,3\) 時，易知 \(2^1\geq 1+1\cdot\sqrt{2^0}, 2^2\geq1+2\cdot\sqrt{2^1}, 2^3\geq1+3\cdot\sqrt{2^2}\) 皆成立。
二、假設當 \(n=k\)，其中 \(k\) 為不小於 \(3\) 的整數時，\(2^k\geq1+k\sqrt{2^{k-1}}\) 會成立。
則當 \(n=k+1\) 時，
\(2^{k+1}=2\cdot2^k\geq2\cdot(1+k\sqrt{2^{k-1}})\)
\(=2+\sqrt{2}\cdot k\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2^{k-1}}\)
\(>1+1.4\times k\sqrt{2^k}=1+(k+0.4k)\sqrt{2^k}\)
\(>1+(k+1)\sqrt{2^k}\) 亦成立。
由一、二及數學歸納法原理，
可知對任意自然數 \(n\)，\(2^n\geq1+n\sqrt{2^{n-1}}\) 皆成立。
回復 23# weiye 的帖子
用了\(\sqrt{2}\)的近似值是1.4，真的是蠻技巧的。恍然大悟了，謝謝您！
[[i] 本帖最後由 casanova 於 2012-3-13 09:52 PM 編輯 [/i]]
回復 11# nanpolend 的帖子
第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值
[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2012-3-22 09:53 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Pacers31[/i] 於 2012-3-22 09:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4948&ptid=1016][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2
顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值 [/quote]
應該要分開來說
在0<x<Pi時,f(x)有極小值5/2
在-Pi<x<0時,f(x)有極大值-5/2
回復 26# Ellipse 的帖子
我了解了... 原來題目是問local maximum and local minimum 而非absolute回復 1# 八神庵 的帖子
請教第10題，感謝。 [quote]原帖由 [i]mathca[/i] 於 2015-12-24 09:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=14558&ptid=1016][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教第10題，感謝。 [/quote]
法1:
分子,分母同乘sin(θ/2) ,再用和差化積化簡
法2:
利用複數性質
令z=cosθ+i*sinθ,求Sigma {k=1 to n} z^k 的實部
回復 29# Ellipse 的帖子
再請教後面，算到 1/2 (sin theta/4 - sin (2n-1)theta/4 ) / sin theta/2 ， 1/4 出現不知要如何往下。感謝
回復 30# mathca 的帖子
應該是算錯了\( \cos A \sin B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) - \sin(A-B) \)
\( A= \theta, 2\theta, \ldots, n \theta \) 代入，不會跑出 \( \frac14 \)
最後再做一次積化和差，把剩下的兩個 \( \sin \) 的差，再寫成 \( \cos \) 乘 \( \sin \) 的形式
回復 31# tsusy 的帖子
感謝，算到頭暈了，莫名其妙除以二。已清楚。回復 5# 老王 的帖子
已推得2^(n-1) = C(n,1) + 2*C(n,2) + ....+ n*C(n,n) / n >= [ n!*C(n,1) *C(n,2)* ....*C(n,n) ]^(1/n)
請問能從算幾不等式中，推得"="何時成立嗎？ ( C(n,1)=2*C(n,2)=...=n*C(n,n).... 推得 n= ? )
還是只能代n=1,n=2,n=3,....？
也就是如何確定 n>=3之後，等號不會成立。
感謝。
[[i] 本帖最後由 mathca 於 2016-1-1 06:15 PM 編輯 [/i]]
回復 33# mathca 的帖子
\(n=C_{1}^{n}\ne 2C_{2}^{n}=n\left( n-1 \right)\) 想請教第八題..我用數歸..在最後一步卡住了.想請教我這個方法過得去嗎?該如何補強??謝謝~
99左營 第10題 數學歸納法證明
最近上課看到的剛好是第10題的數學歸納法
回復 35# idontnow90 的帖子
當 \( n\geq 2 \) 時\( \displaystyle \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)!}=\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+2)^{n+1}}{n!}=\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}<3\cdot4^{n}\cdot\frac{n+2}{n+1}\leq4^{n+1} \)
其中用了 \( (1+\frac 1k)^k <3 \) 對任意正整數 \( k \) 皆成立
其它的補滿，再寫成數學歸納法
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2017-12-8 20:58 編輯 [/i]]
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