第 20 題：
我的做法很麻煩，期待有人能提供更快的作法。
[/quote]
要能看穿這個把戲，答案就出來了
8*8*8/2=256
連結已失效h ttp://www.facebook.com/photo.php?pid=452238&id=100000162065713
回復 21# 老王 的帖子
太漂亮了！真是佩服老王呀！
總是能洞悉題目的根源，
我等到底還要練幾年？
才能有如此的功力呀... [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2010-7-31 09:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2534&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
要能看穿這個把戲，答案就出來了
8*8*8/2=256
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真神人也！
[quote]原帖由 [i]Fermat[/i] 於 2010-7-31 07:09 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2532&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
題外話
請問瑋岳兄是否有參加2010高中教師研習(高大應數森棚教官, 週日場)？
我當天看到一位很像您
可是研習名單裡卻沒見到 [/quote]
我沒有去耶，之前游教授在台中場的時間也跟我的進修時間衝到，
想去可是卻沒機會去，可惜。 剛剛發現，第二十題 應該是出自於 AIME 1985
[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1985_AIME_Problems/Problem_15[/url]
請教第11 題
11. 將一個正五邊形ABCDE的部份面積分別記為x, y, z, (如圖)，已知x=1，求實數序組 (y，x+5y+5z )＝_______。 請教第17 21 27題
謝謝 第 17 題
題目：將 \(8\) 件不同的物品全部分給甲、乙、丙三人，若其中一人至少得 \(1\) 件，一人至少得 \(2\) 件，另一人至少得 \(3\) 件，則分法有 \(N\) 種。將相同的蘋果 \(4\) 個及相同的梨子 \(6\) 個，全部分給丁、戊、己三人，若每人至少得 \(1\) 個(不論是蘋果或梨子)，則分法有 \(M\) 種。求 \(N+M\) 之值=_______。
解答：
\(\displaystyle N = n(\mbox{每人至少得一件}) - n(\mbox{某兩人各得一件，第三人獨得六件})\)
\(\displaystyle = \left(3^8-C^3_1\times2^8 + C^3_2\times1\right) - \left(C^3_1\times\frac{8!}{1!1!6!}\right)\)
\(\displaystyle = 5628.\)
\(\displaystyle M = H_4^3 H_6^3 - C^3_1 H_4^2 H_6^2 + C^3_2 H_4^1 H_6^1\)
（↑ 這是排容原理）
\(\displaystyle = 318.\)
第 21 題
題目：若坐標平面上有一橢圓與 \(x\) 軸相切，且其焦點為 \(F_1(2，1)\) 與 \(F_2(6，2)\)，則此橢圓的短軸長為_______。
解答：
\(\displaystyle \overline{F_1F_2} = \sqrt{17} = 2c.\)
將 \(\displaystyle F_1\) 對稱 \(\displaystyle x\) 軸得 \(\displaystyle F_1'(2,-1)\)，
\(\displaystyle \overline{F_1'F_2} = 5 =2a.\)
（↑ 畫張圖來看看，想想光學性質就知道了）
\(\displaystyle \Rightarrow 2b=\sqrt{\left(2a\right)^2-\left(2c\right)^2}=2\sqrt{2}.\)
第 27 題
題目：設甲箱內有 \(2\) 白球，乙箱內有 \(3\) 紅球，現在每次各自箱中隨機取一個球交換，若經過長期達穩定狀態後，求有 \(2\) 紅球在甲箱內的機率=_______。(最簡分數)
解答：
轉移矩陣 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle0&\frac{1}{6}&0\\1&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\\0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)
其中上方由左至右分別表示的狀態是甲箱中有兩白、一白一紅、兩紅
轉移成左方的狀態由上而下分別是是甲箱中有兩白、一白一紅、兩紅
（↑ 矩陣裏面的數字要自己算一下喔～算起來很快的！）
再由 \(\displaystyle A\left[\begin{array}{c}x\\y\\x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\y\\x\end{array}\right]\) 且 \(\displaystyle x+y+z=1\)，
可解得 \(\displaystyle x=\frac{1}{10}, y=\frac{3}{5}, z=\frac{3}{10}.\) 第11題
令\(\displaystyle \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)，易知\(\phi\)滿足方程式\( \phi^2-\phi-1=0\)
不難說明\( \triangle CDF\)、\(\triangle DFG\)、\(\triangle GCD\)皆為頂角\( 36^\circ \)的等腰三角形或頂角\(108^\circ\)的等腰三角形，故皆為黃金三角形
\(\displaystyle \frac{DG}{FG}=\frac{CD}{GD}= \frac{CG}{FG}=\phi \)
\(\displaystyle CD = GD \times \phi = FG \times \phi^2 \)
兩個正五邊形邊長比為 \( \phi^2 \)，故面積比為 \( \phi^4 \)
\(\displaystyle x+5y+5z = x \times \phi^4 = \phi^4 = ( \phi + 1)^2 = \phi^2 +2\phi+1 =3\phi +2 = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \)
\(\displaystyle y:z =FG:CG =1:\phi\)
\(\displaystyle\phi^4 = x +5y +5z = 1+5y +5\phi y\)
\(\displaystyle y = \frac{\phi^4 -1}{5(1+\phi)} = \frac{(\phi^2+1)(\phi+1)(\phi-1)}{5(\phi+1)} = \frac{(\phi+2)(\phi-1)}{5}=\frac{\phi^2+\phi-2}{5} = \frac{2\phi-1}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5} \) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2010-7-31 09:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2534&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
要能看穿這個把戲，答案就出來了
8*8*8/2=256
[url=http://www.facebook.com/photo.php?pid=452238&id=100000162065713]http://www.facebook.com/photo.php?pid=452238&id=100000162065713[/url] [/quote]
請問如何看出 ?
回復 29# kittyyaya 的帖子
[quote]原帖由 [i]kittyyaya[/i] 於 2010-9-12 12:01 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2644&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請問如何看出 ? [/quote]
老王老師的 facebook 連結裡，有張漂亮的圖！ 圖形我已看很久,就是無法和題目連結,原題目我覺得是上面尖尖,下面是六邊形,中間還有突出的角椎體,如何跟正方體,各邊連接中點的圖形連接呢 ? 懇請麻煩解說,謝謝 原題目上面尖尖、下面是六邊形，
將其複製兩份，將這兩份的〝六邊形的底面相接〞，
就會是老王老師所繪圖中的樣子，
注意看老王老師所繪的圖，就是兩塊原題目的圖形接起來，
連接處就是就是圖中那個有顏色的六邊形，
你可以仔細檢查一下圖中各個三角形的邊長是否符合原題目。
^_^ 想請教一下第24題(1)(2)兩個選項
感謝!! 28.
設\(k\)為定數，若\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{2x^2+a}-x+b}{(x-1)^2}=k\)，求實數\(a+b+k\)之值=[u] [/u]。(最簡分數)
請問28題的 k
我怎麼算都是-1/4
不曉得要怎樣算出1/4
謝謝 [quote]原帖由 [i]ejo3vu84[/i] 於 2011-5-6 04:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3043&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問28題的 k
我怎麼算都是-1/4
不曉得要怎樣算出1/4
謝謝 [/quote]
你應該有算出a=2,b=-1吧
把分子有理化
是根號(2x^2+2)-x-1....變成根號(2x^2+2)-(x+1)
分子分母同乘根號(2x^2+2)+(x+1)就可以把原分母(x-1)^2消去
再令x=1代入可得k=1/4
第9題
設\(0\le x \le \pi\)，若\(f(x)=3sin^2 x+4\sqrt{3}sin x cos x-cos^2 x\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，求實數\(M+m\)之值=[u] [/u]。(最簡分數)請問
將sin和cos化二倍角得
1-2cos2x+3根號3sin2x得
M=1+根號31,m=1-根號31
為何不對?
第19題
將4個球全部投入3個不同的袋子中，每次投一球，連續投4次，則空袋子個數的期望值[u] [/u](最簡分數)請問1*[(3*2^4)/3^4]+2*[(3*1^4)/3^4]=18/27
那裡錯了?
回復 36# waitpub 的帖子
第 9 題化二倍角之後，應該是 \(1-2\cos 2x+2\sqrt{3} \sin 2x,\)而且因為 \(x\) 有範圍限制，所以再來要用疊合慢慢做～
回復 37# waitpub 的帖子
第 19 題，請參考[url=https://math.pro/db/thread-690-1-1.html]https://math.pro/db/thread-690-1-1.html[/url] [quote]原帖由 [i]waitpub[/i] 於 2011-5-22 10:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3206&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問1*[(3*2^4)/3^4]+2*[(3*1^4)/3^4]=18/27
那裡錯了? [/quote]
第一個括號錯了
是C(3,1)*2^4-C(3,2)*1^4