99中興高中
考試時間90分鐘 考完會虛脫吧?!平均一題兩分鐘多就要做完 補一下初試通過最低錄取分數 52分 大家都沒有上來討論題目…。 [quote]原帖由 [i]peter579[/i] 於 2010-7-25 08:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2486&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
大家都沒有上來討論題目…。 [/quote]
沒看到有人對題目有提問呀？:P 2、5二題10、11、13、15題22、30題，
先問這幾題。 我想問26題 答案是不是給錯了 我算 -1/9
還有33題 我算 大約是65 他好像把y當作x帶進去了 第 2 題：
若方程組\(\cases{mx-y+2=0 \cr |\;x|\;+|\;y|\;=1}\)有解，則實數\(m\)之範圍為[u] [/u]。
[解答]
先畫出 \(|x|+|y|=1\) 的圖形，
\(mx-y+2=0\) 是通過 \((0,2)\) 且斜率為 \(m\) 的直線，
兩者圖形有交點，可得 \(m\) 的範圍。
[img]http://i.imgur.com/nTV5l.jpg[/img]
第 3 題
求\(3^{2009}\)除以1000之餘數為[u] [/u]。
[解答]
\(3^{2009}=3\times3^{2008}=3\times\left(10-1\right)^{1004}\) 再用二項式定理展開，千位以上都不管（如果是負的再向前面借 1000 來扣），就有答案了。
第 10 題：
方程式\(x^6+x^4+x^2+1=0\)的六個根在高斯平面上圍成六邊形，求此六邊形的面積為[u] [/u]。
[解答]
方程式乘上 \(x^2-1\)，可得 \(x^8=1\)，此八個根畫在複數平面上，
扣掉 \(1,-1\) 之後的六個根，即可以算出面積。
第 11 題：
將一個正五邊形\(ABCDE\)的部份面積分別記為\(x,y,z\)，已知\(x=1\)，求實數序組\((y,x+5y+5z)=\)[u] [/u]。
[解答]
（沒蝦咪好想法，只好來醜陋的＝＝）
隨便假設一個邊長為 \(1\)，因為都是特殊角（角度都跟 \(18^\circ\) 有關），
所以各色塊的面積都可求得，
然後再把算出來的面積，乘以常數倍，伸縮到最中間的小正五邊形面積為 \(1\)。
所以要求的答案就可以跟著找到了。
第 13 題：
設平面\(x+y+z=1\)與球面\(x^2+y^2+z^2=4\)相交部分為圓\(S\)。已知平面\(2x+2y+z=1\)與圓\(S\)交於\(P\)、\(Q\)兩點，則\(\overline{PQ}\)之長為[u] [/u]。
[解答]
\(P,Q\) 同時滿足題目給的三個方程式，由兩平面的交線得參數式，
再帶入球面，可得 \(P,Q\) 兩點坐標。
第 15 題：
點\(P(4,3,1)\)，點\(Q\)為圓\(\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3}\)上之動點，求線段長\(\overline{PQ}\)之最小值為[u] [/u]。(最簡分數)
[解答]
先分別求出 \(P\) 與 \((0,1,5)\) 到平面 \(x+2y+2z=3\) 的投影點 \(M\) 與 \(O\)，然後求圓半徑 \(r\)，則 \(\sqrt{MP^2+\left(MO-r\right)^2}\) 即為所求。
第 30 題：
\(2x^3-3x^2-12x+k=0\)有二相異負根及一正根，求實數\(k\)範圍為[u] [/u]。
[解答]
令 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+k\) 可得 \(f\,'(x)=0\) 的兩根為 \(-1,2\)
因為 \(f(x)=0\) 有三相異根，所以 \(f(-1)>0,\,f(2)<0\)，
因為有兩負根一正根，所以 \(f(0)<0\)，合併三者可得 \(k\) 的範圍。
第 26 題答案是給 \(\displaystyle-\frac{1}{9}\) 呀。:-)
第 30 題：回歸直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{42}{5}+\frac{26}{25}x\)，以 \(x=75\) 帶入可得 \(y=86.4\)。
（官方答案給的回歸直線方程式，有一個分子打錯了。）
夜深了，隔天還要早起，先睡去，
如果有錯誤的地方，希望能不吝提醒，感謝。 ：） 第 22 題：
已知\(\displaystyle \alpha,\beta \in (0,\frac{\pi}{2})\)，則\(y=(\sqrt{6}sin\alpha-3tan\beta)^2+(\sqrt{6}cos\alpha-3cot\beta)^2\)的最小值為[u] [/u]。
[解答]
令 \(P(\sqrt{6}\sin\alpha, \sqrt{6}\cos\alpha)\) 且 \(Q(3\tan\beta, 3\cot\beta)\)，則
\(P\) 落在第一象限的 \(x^2+y^2=6\) 的圓周上，\(Q\) 落在第一象限的 \(xy=9\) 的圖形上，
畫圖可以發現，當 \(P(\sqrt{3}, \sqrt{3})\) 且 \(Q(3,3)\) 時， \(\overline{PQ}\) 的最小值為 \(3\sqrt{2}-\sqrt{6}.\)
所求為 \(\overline{PQ}^2\) 的最小值 \(=\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^2=24-12\sqrt{3}.\)
感謝 peter579 老師提醒小錯誤，已修正。:P 11題，實在很繁復，
常用的度數的三角函數值。
[url]http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%B2%BE%E7%A1%AE%E5%80%BC[/url] 22題 P(6sin角，6cos角) <-要更正 想請教老師們
第1,20,
29(答案有給錯嗎..我算-3/2 ...利用定義可把x-1消掉再再入x=1)......
25(答案對嗎...我算19/221,,,,(0.95*0.08)/(0.05*0.2+0.95*0.92)...不知錯在哪..).
感謝幫忙 第 1 題：一道光線通過原點 \(O\) 後，沿著 \(y\) 軸射向直線 \(L:\, x-3y+3=0\)，碰到直線 \(L\) 後，假設光線依光學原理反射後，通過 \(x\) 軸上的點坐標 \((a, 0)\)，求實數 \(a\) 值？
解答：
將原點對稱直線 \(L\) 可得點 \(A\)，
直線 \(L\) 與 \(y\) 軸交於 \(B(0,1)\)，
直線 \(\overleftrightarrow{AB}\) 與 \(x\) 軸的交點即為所求。
[attach]1984[/attach]
第 25 題：已知豬得口啼疫的比率為 \(0.05\)，今有一口蹄疫檢驗，對健康的豬能作出正確檢驗的機率為 \(0.92\)，對罹患口蹄疫的豬能作出正確檢驗的機率為 \(0.80\)，今有一豬作此檢驗，求此豬檢驗為健康，但其確實罹病的機率為____ (最簡分數)。
解答：
┌驗出口蹄疫 0.8
豬確實得口蹄疫┤
┌0.05 └未驗出口蹄疫 0.2 （○）
│
└0.95 ┌驗出口蹄疫 0.08
豬確實未得口蹄疫┤
└未驗出口蹄疫 0.92（●）
所求 \(\displaystyle=\frac{0.05\times0.2}{0.05\times0.2+0.95\times0.92}=\frac{5}{442}.\)
第 29 題：設 \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{4}\)，求導函數 \(f'(1)=\)_______。(最簡分數)
lovesun 算的答案 \(\displaystyle-\frac{3}{2}\) 沒錯，看來是官方答案給錯了。 一、應考人反映：第29題答案應為-3/2而非原公告之答案8/3，經本校請閱卷老師針對該題重新評閱及計分，爰請應考人重新上網查詢成績。
二、進入複試名單及進入複試最低分數仍應以本校正式公告為準(查詢筆試成績備註欄所述之最低標準係方便應考人複查參考)，併予敘明。
h ttp://163.22.41.201/board/view.asp?ID=6315 (連結已失效) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-7-30 08:36 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2515&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 1 題：一道光線通過原點 \(O\) 後，沿著 \(y\) 軸射向直線 \(L:\, x-3y+3=0\)，碰到直線 \(L\) 後，假設光線依光學原理反射後，通過 \(x\) 軸上的點坐標 \((a, 0)\)，求實數 \(a\) 值？
解答：
將原點對稱直線 \(L\) 可得點 \(A\) ... [/quote]
感恩老師.................................^^ [quote]原帖由 [i]liengpi[/i] 於 2010-7-30 02:26 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2519&ptid=1013][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
一、應考人反映：第29題答案應為-3/2而非原公告之答案8/3，經本校請閱卷老師針對該題重新評閱及計分，爰請應考人重新上網查詢成績。
二、進入複試名單及進入複試最低分數仍應以本校正式公告為準(查詢筆試成績備註欄所述之 ... [/quote]
感謝...^^"因為在這邊直接抓考題..所以沒有注意到有修正答案..^^"
回復 10# peter579 的帖子
11題可用黃金比例φ=[1+sqrt(5)]/2 (φ^2=φ+1)解聯立
(1) z=φy
(2) x+2y=φ(y+z)
x=1, z=φy代入(2)得1=(φ^2+φ-2)y
=> y=1/(φ^2+φ-2)=1/(2φ-1)=1/sqrt(5)=sqrt(5)/5
=> x+5y+5z=1+5y(1+φ)=1+sqrt(5)*[3+sqrt(5)]/2=[7+3sqrt(5)]/2 第 20 題：
三個\(8cm \times 8cm\)的正方形都被連接兩條鄰邊中點的直線分成\(A\)、\(B\)兩片，並將這六片粘在另一個正六邊形的邊上(接縫部分不計)，然後折成一個多面體。求此多面體的體積為[u] [/u]\(cm^3\)。
[解答]
我的做法很麻煩，期待有人能提供更快的作法。
先把拼起來的立體圖形的高 \(\displaystyle\sqrt{\left(6\sqrt{2}\right)^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2}=4\sqrt{3}\) 算出來，
然後把三個缺掉的小三角錐補上，
三個多補上的小三角錐的底面是邊長為 \(4\sqrt{2}\) 的小正三角形，
補上之後整個大三角錐的底面變成是邊長為 \(12\sqrt{2}\) 的大正三角形，
然後算出大三角錐由上方頂點到底面的頂點之稜長 \(12\)，
最算出三個小三角錐由上方頂點到底面頂點的稜長是 \(4\)、高是 \(\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，
最後所求體積 ＝ 大三角錐體積 － 三個小三角錐體積
\(\displaystyle=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\left(12\sqrt{2}\right)^2\times4\sqrt{3}-3\times\left(\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\left(4\sqrt{2}\right)^2\times\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\)
\(\displaystyle=288-32\)
\(\displaystyle=256.\)
Note: 算完之後，剛剛才發現三個小三角錐剛好是大三角錐邊長縮小為原來的 \(\displaystyle \frac{1}{3}\) 倍。:-P
回復 18# weiye 的帖子
這樣就很簡潔了呀！不過如果在計算體積前有注意到要截掉的三個小三角錐其側面三角形皆等腰直角三角形的話
就可以注意到這三個小的會與大三角錐的相似, 且邊長為大的1/3 (故體積為大的1/27)
計算就能簡化為
先算高{12^2-[4sqrt(6)]^2}^(1/2)=4sqrt(3)
所求體積=(1/3)*[sqrt(3)/4][12sqrt(2)]^2*4sqrt(3)*[1-3(1/27)]=288*8/9=256
題外話
請問瑋岳兄是否有參加2010高中教師研習(高大應數森棚教官, 週日場)？
我當天看到一位很像您
可是研習名單裡卻沒見到 剛發現還有問第5題
第5題
若\((x^{2000}-1)\)除以\((x^4+x^3+2x^2+x+1)\)之餘式為\(ax^3+bx^2+cx+d\)，則實數\(a+b+c+d\)之值=[u] [/u]。(最簡分數)
[解答]
令f(x)=x^2000-1
因x^4+x^3+2x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^2+1)=(x-w)(x-w^2)(x-i)(x+i) 其中w=[-1+sqrt(3)i]/2
=> f(x)=(x-w)(x-w^2)(x+i)(x-i)q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
i, w分別代入f(x)得
0=ai^3+bi^2+ci+d=(d-b)+(c-a)i => b=d, a=c...(1)
w^2-1=aw^3+bw^2+cw+d=a+d+b(-1-w)+cw (因1+w+w^2=0)
=> -2-w=(a+d-b)+(c-b)w
=> a+d-b=-2, c-b=-1...(2)
(1),(2)解得a=-2, b=-1, c=-2, d=-1
=> a+b+c+d=-6
113.4.28補充
多項式\(f(x)=x^{130}-1\)，\(g(x)=x^4-x^3+2x^2-x+1\)，求\(f(x)\)除以\(g(x)\)的餘式為[u] [/u]。
(113桃園高中，[url]https://math.pro/db/thread-3852-1-1.html[/url])