99安樂高中
計分方式很特別..... [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1900]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1900[/url]1.設有二個首項皆為1的數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)，且對於所有的自然數n，\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=a_n-2 b_n \cr b_{n+1}=a_n+4 b_n} \)恆成立，則\( a_n= \)？
(高中數學101 P339，高中數學101修訂版 P340)
[另解]
\( a_{n+1}=a_n-2b_n \) ， \( \displaystyle b_n=-\frac{1}{2}a_{n+1}+\frac{1}{2}a_n \)
代入\( b_{n+1}=a_n+4 b_n \)得\( b_{n+1}=-2a_{n+1}+3a_n \) ， \( b_n=-2a_n+3a_{n-1} \)
代入\( a_{n+1}=a_n-2b_n \)得\( a_{n+1}=5a_n-6a_{n-1} \) ， \( a_{n+1}-5a_n+6a_{n-1}=0 \)
特徵方程\( x^2-5x+6=0 \) ， \( x=2,3 \)
令\( a_n=c_1 \times 2^n+c_2 \times 3^n \) ， \( a_1=1，a_2=-1 \)
得\( c_1=2，c_2=-1 \) ， \( a_n=2^{n+1}-3^n \)
\( x_1=1，y_1=3 \)，\( \cases{3x_n+y_n=2x_{n-1} \cr x_n+3y_n=2y_{n-1}} \)，求\( x_n \)？
(97全國高中聯招)
7.設\( \displaystyle 0 \le x \le \frac{\pi}{2} \)，則方程式\( cos^8 x+sin^8 x=\frac{97}{128} \)之解為？
[解答]
\( (sin^2 x+cos^2 x)^4=sin^8 x+4sin^6 x cos^2 x+6sin^4 x cos^4 x+4sin^2 x cos^6 x+cos^8 x \)
\( \displaystyle 1=\frac{97}{128}+4(sin x cos x)^2(sin^4 x+cos^4 x)+6sin^4 x cos^4 x \)
\( \displaystyle 1=\frac{97}{128}+4(sin x cos x)^2[1-2(sin x cos x)^2]+6sin^4 x cos^4 x \)
令\( t=(sin x cos x)^2 \)
\( \displaystyle 1=\frac{97}{128}+4t(1-2t)+6t^2 \)
\( \displaystyle t=\frac{1}{16}，\frac{31}{16} \)(不合)
\( (\frac{1}{2}sin2x)^2=\frac{1}{16} \)
\( \displaystyle x=\frac{\pi}{12}，\frac{5 \pi}{12} \)
12.設\( \displaystyle (1+x)^{200}=\sum_{k=0}^{200}a_k x^k \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{66}a_{3k}= \)？
設 C(100,3k),k從0到33之和為S，請問S為幾位正整數？首位數為何？末位數為何？
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=39008 (連結已失效)
14.設x,y為實數，則函數\( \sqrt{x^2+y^2-6x-ylog_2 9+(log_2 3)^2+9}+\sqrt{x^2+y^2+4x-ylog_2 144+log_2 81+(log_2 3)^2+8} \)之最小值為？
對\( x>0 \)，函數\( g(x)=\sqrt{x^2+(log x)^2}+\sqrt{(4-x)^2+(6+log x)^2} \)的最小值為何？
(1)\( 4\sqrt{3} \) (2)\( 2\sqrt{11} \) (3)\( 2\sqrt{13} \) (4)\( 10 \)
(96苗栗縣國中聯招)
若\( x>0 \)，求\( \sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2x^2-16x+(log_2 x)^2-2xlog_2 x+2log_2 x+50} \)的最小值？
(99中一中，[url=https://math.pro/db/thread-929-1-2.html]https://math.pro/db/thread-929-1-2.html[/url])
101.4.6補充
甲、乙兩人輪擲一不公正銅板，此銅板出現正面之機率為\( \displaystyle \frac{2}{3} \)，出現反面的機率為\( \displaystyle \frac{1}{3} \)。若出現正面，甲給乙1元，若出現反面，乙給甲1元。今甲有m元，乙有n元，m、n均為自然數，則甲將乙的錢贏光之機率為？
這裡有相關討論[url]https://math.pro/db/thread-497-1-1.html[/url] 想請教第4題,謝謝
回復 3# 阿光 的帖子
甲、乙兩人輪擲一不公正銅板，此銅板出現正面之機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，出現反面的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。若出現正面，甲給乙1元，若出現反面，乙給甲1元。今甲有\(m\)元，乙有\(n\)元，\(m\)、\(n\)均為自然數，則甲將乙的錢贏光之機率為[u] [/u]。[解答]
[url]https://math.pro/db/thread-497-1-1.html[/url] 為什麼第12題我做不出正確答案(我的答案是\(\displaystyle \frac{1}{3}(2^{200}-1)\),請指示正確解法,謝謝
回復 5# 阿光 的帖子
12.設\(\displaystyle (1+x)^{200}=\sum_{k=0}^{200}a_k x^k\)，則\(\displaystyle \sum_{k=1}^{66}a_{3k}=\)[u] [/u]。
題目要求 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{66}a_{3k}\)
你求出來的是 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{66}a_{3k}\)
所以你的答案要再扣掉 \(a_0\)
請教第6題,謝謝
回復 7# maymay 的帖子
第 6 題方程式\(\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}\)的有理數解\(x,y\)為[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle\sqrt{2\sqrt{3}-3}\)
\(\displaystyle=\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle=\sqrt[4]{3}\cdot\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{3}-1\right)\)
\(\displaystyle=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
謝謝
想請問一下第11題 謝謝回復 10# l811224 的帖子
設兩複數\(z_1\)、\(z_2\)均不為0，若\(z_1^2+z_1z_2+z_2^2=0\)且\(|\;z_2|\;=2\)，則\(|\;z_1-z_2|\;=\)[u] [/u]。[解答]
Z_1^2+Z_1*Z_2+Z_2^2=0
同除Z_2^2 (Z_1/Z_2)^2+(Z_1/Z_2)+1=0
Z_1/Z_2=(-1+根號3i)/2
|Z_1-Z_2|=|Z_2||Z_1/Z_2-1|=|Z_2||(-3+根號3i)/2||=2根號3 #
回復 11# wen0623 的帖子
謝謝你！請教第12題
板上老師好,請問第12題要怎模要才能做出?附件是卡住的計算過程,從前面的討論串只會作n是6的倍數
回復 13# anyway13 的帖子
\( \displaystyle (1+x)^{200} = \sum_{k=0}^{200} a_{k} x^{k} \)令\( \displaystyle \omega = \cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}} \; , \; 1 + \omega + \omega^2 = 0 \; , \; \omega^{3} = 1 \)
\( \displaystyle (1+1)^{200} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{200} \)
\( \displaystyle (1+\omega)^{200} = a_{0} + a_{1} \omega + a_{2} \omega^2 + a_{3} \omega^3 + \cdots + a_{200} \omega^{200} \)
\( \displaystyle (1+\omega^2)^{200} = a_{0} + a_{1} \omega^2 + a_{2} \omega^4 + a_{3} \omega^6 + \cdots + a_{200} \omega^{400} \)
三式相加：
\( \displaystyle 2^{200} + (-\omega^2)^{200} + (-\omega)^{200} = 3( a_{0} + a_{3} + \cdots + a_{198} ) \)
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{66} a_{3k} = \frac{ 2^{200} + \omega + \omega^2 }{3} = \frac{ 2^{200} - 1 }{3} \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^{66} a_{3k} = \frac{ 2^{200} - 1 }{3} - 1 = \frac{ 2^{200} - 4 }{3} \)。
回復 14# koeagle 的帖子
謝謝koeagle老師詳細的講解,十分感謝頁:
[1]