99文華高中代理
如附件請參考(因為考代理的人少,學校也少,所以公佈題目的不多,文華肯公佈,雖然只有部份,但還是要肯定他們學校的作法)
(PS.若有考代理教師的,也請幫忙查詢該校是否有公佈題目(有筆試者),再把題目轉貼過來,共襄盛舉) 想請教第8題,謝謝
回復 2# 阿光 的帖子
8.以正12邊形的12個頂點中，任意三個頂點所形成的直角三角形共有\(a\)個，鈍角三角形有\(b\)個，等腰三角形有\(c\)個；則\(2a+b-c=\)[u] [/u]。
[解答]
直角三角形：先確定斜邊是哪一條，然後再確定直角的點～
\(a=C^6_1\times 10=60\)
鈍角三角形：先確定不是鈍角的其中一個點，在確定剩下的兩個點～
\(b=C^{12}_1C^5_2=120\)
等腰三角形：先確定頂角的頂點，在確定底角的兩個點～然後正三角形會重複計算到～要記得扣掉～
\(c=C^{12}_1\times C^5_1-(12/3)\times2=52\)
\(2a+b-c=188\)
請教填充5, 謝謝
若空間中有四點，\(A(0,1,0)\)，\(B(4,6,3)\)，\(C(1,2,1)\)，\(D(1,-2,-3)\)，若包含\( \overline{AB} \)且平分四面體\(ABCD\)體積之平面方程式為\(2x+by+cz+d=0\)，則\(b+c+d=\)[u] [/u]。回復 4# maymay 的帖子
填充第 5 題：先求得 \(C,D\) 的中點 \(E(1,0,-1)\)
所求的平面即為『包含 \(\overline{AB}\) 且通過 \(E\) 的平面』，
（因為 \(C,D\) 到 \(\triangle ABE\) 所在平面的距離相等）
通過 \(A,B,E\) 三點的平面可以求得為 \(2x-7y+9z+7=0\)
\(\Rightarrow b=-7,c=9,d=7\Rightarrow b+c+d=9.\)
謝謝,原來那麼簡單,我把它想難了
再請教7,我是用餘弦去算,不知有無其他方法空間中，設兩定點\(A(1,2,0)\)，\(B(1,-1,\sqrt{3})\)，動點\(P\)在\(x\)軸上，\(∠APB=\theta\)，滿足\(0\le \theta \le \pi\)，試求\(\theta\)的最大值[u] [/u]。
填充第 7 題
當某球通過 \(A,B\) 兩點且與 \(x\) 軸相[color=#ff0000]切[/color]於 \(P\) 點，且球半徑為最小時，\(∠APB\) 會有最大值。
（很抱歉，我實在是不太會畫立體圖～＝＝
只好請您在腦海中想像一下～）
設此時 \(P(a,0,0)\)
因為球心必在 \(A,B\) 的垂直平分面 \(3y-\sqrt{3} z = 0\) 上，
設球心 \(Q(a, b, \sqrt{3} b)\)
由 \(\overline{QA}=\overline{QP}\)
\(\Rightarrow (a-1)^2 + (b-2)^2 +(\sqrt{3}b)^2 = b^2+(\sqrt{3}b)^2=\mbox{半徑的平方}\)
可得 \(4b=a^2-2a+5\)
當半徑有最小值時，\(b\)有最小值，所以，\(a=1, b=1\)
可得
\(P(1,0,0)\)
PA向量 \(=(0,2,0)\)
PB向量 \(=(0,-1,\sqrt{3})\)
\(\displaystyle \cos \theta = \frac{\mbox{PA向量} \cdot \mbox{PB向量}}{\left|\mbox{PA向量}\right| \cdot\left|\mbox{PB向量}\right|}= \frac{-1}{2}\)
\(\theta= 120^\circ.\)
回復 7# weiye 的帖子
請問「當某球通過 AB 兩點且與 x 軸相交於 P 點，且球半徑為最小時，∠APB 會有最大值。」這是為什麼呢？若無法畫圖可用文字敘述一下嗎？
想像立體圖形了，但還是看不出來。
另外，還想請問Q坐標的x坐標為何假設為a呢？
回復 8# casanova 的帖子
「當某球通過 AB 兩點且與 x 軸相[color=#ff0000]交[/color]於 P 點，且球半徑為最小時，∠APB 會有最大值。」
哈，我原本是要寫
「當某球通過 AB 兩點且與 x 軸相[color=#ff0000]切[/color]於 P 點，且球半徑為最小時，
∠APB 會有最大值。」
因為通過 \(A,B,P\) 三點的圓半徑越小時，\(∠APB\) 越大。
沒想到寫錯一個字。：Ｐ
回復 9# weiye 的帖子
再請問為什麼球心Q的x坐標假設為a呢？回復 10# casanova 的帖子
因為當球與 \(x\) 軸相切時，球心的 \(x\) 坐標會與此球與 \(x\) 軸切點的 \(x\) 坐標相同。換句話說，球心在 \(x\) 軸的投影點即為切點。：）
回復 11# weiye 的帖子
謝謝weiye老師！ [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-12-13 10:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4557&ptid=1003][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填充第 5 題：
先求得 \(C,D\) 的中點 \(E(1,0,-1)\)
所求的平面即為『包含 \(\overline{AB}\) 且通過 \(E\) 的平面』，
（因為 \(C,D\) 到 \(\triangle ABE\) 所在平面的距離相等）
通過 \(A,B,E\) 三點的平面可以求得 ... [/quote]
因為\(A,B\)在平面\(F:2x+by+cz+d=0\)上，所以\(b+d=0\)且\(8+6b+3c+d=0\)
然後我是用\(d(C;F)=d(D;F)\)去求出\(c=4,9\)
不只多一個答案，且我想像的平面\(F\)和學長的應該不是同一個平面 ^^?
---- 二分鐘後 ----
想一想，應該是同一個平面沒錯，但答案多了一個 = =
回復 13# poemghost 的帖子
你所多的那個答案～應該是「包含 \(\overline{AB}\)，且平行 \(\overline{CD}\) 的平面」，那平面也會滿足到 \(C\) 與到 \(D\) 的距離相等，
但卻不會平分四面體 \(ABCD\) 的體積。：） 嗯嗯，原來如此，看來這個方法還是不太好
謝謝 ^^ 想請教一下第四題跟第十一題!!!!!!!!
謝謝!!!!!!
回復 1# 八神庵 的帖子
請教第4題，感謝。一厚度超過5的水平放置木板上，穿有一邊長為10的正三角形的洞，今將半徑5的硬球放入正三角形，則木板上球的高度為[u] [/u]。
回復 17# mathca 的帖子
不太會畫立體圖形，但你可以先想像看看把球放到邊長10的正三角形的感覺
.
因為球面是"很多個圓"堆積起來的
所以當他穿過邊長10的正三角形，卡住時的那個圓即為邊長10的正三角形的內切圓
1.先求內切圓半徑
由面積公式可得內切圓半徑為\(\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{3}\)
.
2.可得到一直角三角形斜邊為5(也就是球面半徑)，一股為高h，
另一股則為正三角形截球面的半徑為\(\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{3}\)(也就是內切圓半徑)
由畢氏定理可得高為\(\displaystyle \frac{5 \sqrt{6}}{3}\)
.
故在木板上球的高度為\(\displaystyle h+5=\frac{5 \sqrt{6}}{3}+5\)
阿賢想將一個半徑為5公分的球投進一個三角形的球框，因球太大被卡在框架上。設此三角形球框的三邊長分別為15,14,13公分，則球心到此三角形所決定平面的最短距離[u] [/u]公分。
(89高中數學能力競賽 第四區筆試二試題，連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2001_Taiwan_High_HsinChu_02.pdf)
想將一半徑3公分的球投進一個三角形的球框，因球太大被卡在框架上，若此三角形球框三邊長為3,4,6公分，則球心到此三角形所決定的平面的最短距離為[u] [/u]公分。
(100南港高工，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3601[/url])
110.2.16補充圖形和類題
把一個邊長13、14、15的三角形鐵絲框套在一個半徑為10的球上，求此三角形所在平面與球心\(O\)之間的距離。
(奧數教程高二 第9講截面摺疊和展開)
回復 16# man90244 的帖子
第 11 題設 D 在 AB 上，E 在 BC 上，F 在 CA 上
易知 AD = AF = 4，BD = BE = 3，CE = CF = 5
△ADF / △ABC = (4 * 4) / (7 * 9) = 16/63
△BDE / △ABC = (3 * 3) / (7 * 8) = 9/56
△CEF / △ABC = (5 * 5) / (8 * 9) = 25/72
△DEF / △ABC = 1 - (16/63 + 9/56 + 25/72) = 5/21
回復 18# superlori 的帖子
感謝，應該是「一厚度超過5的水平木板上」這句話混淆我的理解，照算式上來看，應該是一平面割一球於一圓面，
或者說是一球卡住一洞，球圓面與此洞三邊相切。
之前被文字混淆了。
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